Rezolvați sqrt{a-4}+1=sqrt{2a-7}

$$\sqrt { a - 4 } + 1 = \sqrt { 2 a - 7 }$$

Rezolvați pentru a

$$a=8$$

$$a=4$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{a-4}+1\right)^{2}=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{a-4}+1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{a-4}\right)^{2}+2\sqrt{a-4}+1=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{a-4} la puterea 2 și obțineți a-4.

$$a-4+2\sqrt{a-4}+1=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Adunați -4 și 1 pentru a obține -3.

$$a-3+2\sqrt{a-4}=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2a-7} la puterea 2 și obțineți 2a-7.

$$a-3+2\sqrt{a-4}=2a-7$$

Scădeți a-3 din ambele părți ale ecuației.

$$2\sqrt{a-4}=2a-7-\left(a-3\right)$$

Pentru a găsi opusul lui a-3, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2\sqrt{a-4}=2a-7-a+3$$

Combinați 2a cu -a pentru a obține a.

$$2\sqrt{a-4}=a-7+3$$

Adunați -7 și 3 pentru a obține -4.

$$2\sqrt{a-4}=a-4$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(2\sqrt{a-4}\right)^{2}=\left(a-4\right)^{2}$$

Extindeți \left(2\sqrt{a-4}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{a-4}\right)^{2}=\left(a-4\right)^{2}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\left(\sqrt{a-4}\right)^{2}=\left(a-4\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{a-4} la puterea 2 și obțineți a-4.

$$4\left(a-4\right)=\left(a-4\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu a-4.

$$4a-16=\left(a-4\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(a-4\right)^{2}.

$$4a-16=a^{2}-8a+16$$

Scădeți a^{2} din ambele părți.

$$4a-16-a^{2}=-8a+16$$

Adăugați 8a la ambele părți.

$$4a-16-a^{2}+8a=16$$

Combinați 4a cu 8a pentru a obține 12a.

$$12a-16-a^{2}=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$12a-16-a^{2}-16=0$$

Scădeți 16 din -16 pentru a obține -32.

$$12a-32-a^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-a^{2}+12a-32=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -a^{2}+aa+ba-32. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=12 ab=-\left(-32\right)=32$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 32.

$$1,32 2,16 4,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+32=33 2+16=18 4+8=12$$

Soluția este perechea care dă suma de 12.

$$a=8 b=4$$

Rescrieți -a^{2}+12a-32 ca \left(-a^{2}+8a\right)+\left(4a-32\right).

$$\left(-a^{2}+8a\right)+\left(4a-32\right)$$

Factor -a în primul și 4 în al doilea grup.

$$-a\left(a-8\right)+4\left(a-8\right)$$

Scoateți termenul comun a-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(a-8\right)\left(-a+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați a-8=0 și -a+4=0.

$$a=8 a=4$$

Înlocuiți a cu 8 în ecuația \sqrt{a-4}+1=\sqrt{2a-7}.

$$\sqrt{8-4}+1=\sqrt{2\times 8-7}$$

Simplificați. Valoarea a=8 corespunde ecuației.

$$3=3$$

Înlocuiți a cu 4 în ecuația \sqrt{a-4}+1=\sqrt{2a-7}.

$$\sqrt{4-4}+1=\sqrt{2\times 4-7}$$

Simplificați. Valoarea a=4 corespunde ecuației.

$$1=1$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{a-4}+1=\sqrt{2a-7}.

$$a=8 a=4$$