Rezolvați sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{7x+67} la puterea 2 și obțineți 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+5\right)^{2}.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Scădeți 20x din ambele părți.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

Combinați 7x cu -20x pentru a obține -13x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Scădeți 25 din ambele părți.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

Scădeți 25 din 67 pentru a obține 42.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -4x^{2}+ax+bx+42. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -13.

$$a=8 b=-21$$

Rescrieți -4x^{2}-13x+42 ca \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Factor 4x în primul și 21 în al doilea grup.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Scoateți termenul comun -x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+2=0 și 4x+21=0.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Înlocuiți x cu 2 în ecuația \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Simplificați. Valoarea x=2 corespunde ecuației.

$$9=9$$

Înlocuiți x cu -\frac{21}{4} în ecuația \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Simplificați. Valoarea x=-\frac{21}{4} nu respectă ecuația, deoarece partea stângă și a semnului din dreapta au semne opuse.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

Ecuația \sqrt{7x+67}=2x+5 are o soluție unică.

$$x=2$$