Rezolvați sqrt{6x-1}-sqrt{5x+4}=9

$$\sqrt { 6 x - 1 } - \sqrt { 5 x + 4 } = 9$$

Rezolvați pentru x

$$x=18\sqrt{2459}+896\approx 1788,589491312$$

Pașii soluției

Scădeți -\sqrt{5x+4} din ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{6x-1}=9+\sqrt{5x+4}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{6x-1}\right)^{2}=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{6x-1} la puterea 2 și obțineți 6x-1.

$$6x-1=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{5x+4} la puterea 2 și obțineți 5x+4.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+5x+4$$

Adunați 81 și 4 pentru a obține 85.

$$6x-1=85+18\sqrt{5x+4}+5x$$

Scădeți 85+5x din ambele părți ale ecuației.

$$6x-1-\left(85+5x\right)=18\sqrt{5x+4}$$

Pentru a găsi opusul lui 85+5x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6x-1-85-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Scădeți 85 din -1 pentru a obține -86.

$$6x-86-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Combinați 6x cu -5x pentru a obține x.

$$x-86=18\sqrt{5x+4}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(x-86\right)^{2}=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-86\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Extindeți \left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=18^{2}\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Calculați 18 la puterea 2 și obțineți 324.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{5x+4} la puterea 2 și obțineți 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(5x+4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 324 cu 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=1620x+1296$$

Scădeți 1620x din ambele părți.

$$x^{2}-172x+7396-1620x=1296$$

Combinați -172x cu -1620x pentru a obține -1792x.

$$x^{2}-1792x+7396=1296$$

Scădeți 1296 din ambele părți.

$$x^{2}-1792x+7396-1296=0$$

Scădeți 1296 din 7396 pentru a obține 6100.

$$x^{2}-1792x+6100=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -1792 și c cu 6100 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{\left(-1792\right)^{2}-4\times 6100}}{2}$$

Ridicați -1792 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-4\times 6100}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 6100.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-24400}}{2}$$

Adunați 3211264 cu -24400.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3186864}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3186864.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±36\sqrt{2459}}{2}$$

Opusul lui -1792 este 1792.

$$x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 1792 cu 36\sqrt{2459}.

$$x=\frac{36\sqrt{2459}+1792}{2}$$

Împărțiți 1792+36\sqrt{2459} la 2.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 36\sqrt{2459} din 1792.

$$x=\frac{1792-36\sqrt{2459}}{2}$$

Împărțiți 1792-36\sqrt{2459} la 2.

$$x=896-18\sqrt{2459}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=18\sqrt{2459}+896 x=896-18\sqrt{2459}$$

Înlocuiți x cu 18\sqrt{2459}+896 în ecuația \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Simplificați. Valoarea x=18\sqrt{2459}+896 corespunde ecuației.

$$9=9$$

Înlocuiți x cu 896-18\sqrt{2459} în ecuația \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(896-18\sqrt{2459}\right)-1}-\sqrt{5\left(896-18\sqrt{2459}\right)+4}=9$$

Simplificați. Valoarea x=896-18\sqrt{2459} nu respectă ecuația, deoarece partea stângă și a semnului din dreapta au semne opuse.

$$99-2\times 2459^{\frac{1}{2}}=9$$

Înlocuiți x cu 18\sqrt{2459}+896 în ecuația \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Simplificați. Valoarea x=18\sqrt{2459}+896 corespunde ecuației.

$$9=9$$

Ecuația \sqrt{6x-1}=\sqrt{5x+4}+9 are o soluție unică.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$