Rezolvați sqrt{5x-6}-sqrt{x-2}=2

$$\sqrt { 5 x - 6 } - \sqrt { x - 2 } = 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

$$x=2$$

Pașii soluției

Scădeți -\sqrt{x-2} din ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{5x-6}=2+\sqrt{x-2}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{5x-6}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{5x-6} la puterea 2 și obțineți 5x-6.

$$5x-6=\left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$5x-6=4+4\sqrt{x-2}+\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-2} la puterea 2 și obțineți x-2.

$$5x-6=4+4\sqrt{x-2}+x-2$$

Scădeți 2 din 4 pentru a obține 2.

$$5x-6=2+4\sqrt{x-2}+x$$

Scădeți 2+x din ambele părți ale ecuației.

$$5x-6-\left(2+x\right)=4\sqrt{x-2}$$

Pentru a găsi opusul lui 2+x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$5x-6-2-x=4\sqrt{x-2}$$

Scădeți 2 din -6 pentru a obține -8.

$$5x-8-x=4\sqrt{x-2}$$

Combinați 5x cu -x pentru a obține 4x.

$$4x-8=4\sqrt{x-2}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(4x-8\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x-8\right)^{2}.

$$16x^{2}-64x+64=\left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Extindeți \left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$16x^{2}-64x+64=4^{2}\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calculați 4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$16x^{2}-64x+64=16\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-2} la puterea 2 și obțineți x-2.

$$16x^{2}-64x+64=16\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16 cu x-2.

$$16x^{2}-64x+64=16x-32$$

Scădeți 16x din ambele părți.

$$16x^{2}-64x+64-16x=-32$$

Combinați -64x cu -16x pentru a obține -80x.

$$16x^{2}-80x+64=-32$$

Adăugați 32 la ambele părți.

$$16x^{2}-80x+64+32=0$$

Adunați 64 și 32 pentru a obține 96.

$$16x^{2}-80x+96=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 16, b cu -80 și c cu 96 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\times 96}}{2\times 16}$$

Ridicați -80 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\times 96}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\times 96}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -64 cu 96.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-6144}}{2\times 16}$$

Adunați 6400 cu -6144.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±16}{2\times 16}$$

Opusul lui -80 este 80.

$$x=\frac{80±16}{2\times 16}$$

Înmulțiți 2 cu 16.

$$x=\frac{80±16}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{80±16}{32} atunci când ± este plus. Adunați 80 cu 16.

$$x=\frac{96}{32}$$

Împărțiți 96 la 32.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{80±16}{32} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din 80.

$$x=\frac{64}{32}$$

Împărțiți 64 la 32.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=2$$

Înlocuiți x cu 3 în ecuația \sqrt{5x-6}-\sqrt{x-2}=2.

$$\sqrt{5\times 3-6}-\sqrt{3-2}=2$$

Simplificați. Valoarea x=3 corespunde ecuației.

$$2=2$$

Înlocuiți x cu 2 în ecuația \sqrt{5x-6}-\sqrt{x-2}=2.

$$\sqrt{5\times 2-6}-\sqrt{2-2}=2$$

Simplificați. Valoarea x=2 corespunde ecuației.

$$2=2$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{5x-6}=\sqrt{x-2}+2.

$$x=3 x=2$$