Rezolvați sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{5x-1} la puterea 2 și obțineți 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{3x-2} la puterea 2 și obțineți 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Combinați 5x cu 3x pentru a obține 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Scădeți 2 din -1 pentru a obține -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-1} la puterea 2 și obțineți x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Scădeți 8x-3 din ambele părți ale ecuației.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 8x-3, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Combinați x cu -8x pentru a obține -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Adunați -1 și 3 pentru a obține 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Extindeți \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calculați -2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{5x-1} la puterea 2 și obțineți 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{3x-2} la puterea 2 și obțineți 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 20x-4 la fiecare termen de 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Combinați -40x cu -12x pentru a obține -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Scădeți 49x^{2} din ambele părți.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Combinați 60x^{2} cu -49x^{2} pentru a obține 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Adăugați 28x la ambele părți.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Combinați -52x cu 28x pentru a obține -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Scădeți 4 din 8 pentru a obține 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 11x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Soluția este perechea care dă suma de -24.

$$a=-22 b=-2$$

Rescrieți 11x^{2}-24x+4 ca \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Factor 11x în primul și -2 în al doilea grup.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Înlocuiți x cu \frac{2}{11} în ecuația \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Expresia \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} este nedefinită, deoarece radicand nu poate fi negativ.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Înlocuiți x cu 2 în ecuația \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Simplificați. Valoarea x=2 corespunde ecuației.

$$1=1$$

Ecuația \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} are o soluție unică.

$$x=2$$