Rezolvați sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Pașii soluției

Scădeți -\sqrt{15+x^{2}} din ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{25-x^{2}} la puterea 2 și obțineți 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{15+x^{2}} la puterea 2 și obțineți 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Adunați 16 și 15 pentru a obține 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Scădeți 31+x^{2} din ambele părți ale ecuației.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Pentru a găsi opusul lui 31+x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Scădeți 31 din 25 pentru a obține -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Combinați -x^{2} cu -x^{2} pentru a obține -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Extindeți \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați 8 la puterea 2 și obțineți 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{15+x^{2}} la puterea 2 și obțineți 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 64 cu 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Scădeți 960 din ambele părți.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Scădeți 960 din 36 pentru a obține -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Scădeți 64x^{2} din ambele părți.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Combinați 24x^{2} cu -64x^{2} pentru a obține -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Înlocuiți x^{2} cu t.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu -40 și c cu -924.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Rezolvați ecuația t=\frac{40±128}{8} când ± este plus și când ± este minus.

$$t=21 t=-11$$

De la x=t^{2}, soluțiile sunt obținute prin evaluarea x=±\sqrt{t} pentru fiecare t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Înlocuiți x cu -\sqrt{21} în ecuația \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Simplificați. Valoarea x=-\sqrt{21} nu respectă ecuația, deoarece partea stângă și a semnului din dreapta au semne opuse.

$$-4=4$$

Înlocuiți x cu \sqrt{21} în ecuația \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Simplificați. Valoarea x=\sqrt{21} nu respectă ecuația, deoarece partea stângă și a semnului din dreapta au semne opuse.

$$-4=4$$

Înlocuiți x cu -\sqrt{11}i în ecuația \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Simplificați. Valoarea x=-\sqrt{11}i corespunde ecuației.

$$4=4$$

Înlocuiți x cu \sqrt{11}i în ecuația \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Simplificați. Valoarea x=\sqrt{11}i corespunde ecuației.

$$4=4$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$