Rezolvați sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2-x} la puterea 2 și obțineți 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Combinați -x cu 2x pentru a obține x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Scădeți 1 din 2 pentru a obține 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 1 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1 cu 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Împărțiți -1+\sqrt{5} la -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{5} din -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Împărțiți -1-\sqrt{5} la -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{1-\sqrt{5}}{2} în ecuația \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} nu respectă ecuația, deoarece partea stângă și a semnului din dreapta au semne opuse.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Înlocuiți x cu \frac{\sqrt{5}+1}{2} în ecuația \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} corespunde ecuației.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

Ecuația \sqrt{2-x}=x-1 are o soluție unică.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$