Rezolvați sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Pașii soluției

Scădeți -\sqrt{19-x^{2}} din ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{15+x^{2}} la puterea 2 și obțineți 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{19-x^{2}} la puterea 2 și obțineți 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Adunați 4 și 19 pentru a obține 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Scădeți 23-x^{2} din ambele părți ale ecuației.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Pentru a găsi opusul lui 23-x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Scădeți 23 din 15 pentru a obține -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Extindeți \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați 4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{19-x^{2}} la puterea 2 și obțineți 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16 cu 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Scădeți 304 din ambele părți.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Scădeți 304 din 64 pentru a obține -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Adăugați 16x^{2} la ambele părți.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Combinați -32x^{2} cu 16x^{2} pentru a obține -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Înlocuiți x^{2} cu t.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu -16 și c cu -240.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Rezolvați ecuația t=\frac{16±64}{8} când ± este plus și când ± este minus.

$$t=10 t=-6$$

De la x=t^{2}, soluțiile sunt obținute prin evaluarea x=±\sqrt{t} pentru t pozitive.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Înlocuiți x cu \sqrt{10} în ecuația \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Simplificați. Valoarea x=\sqrt{10} corespunde ecuației.

$$2=2$$

Înlocuiți x cu -\sqrt{10} în ecuația \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Simplificați. Valoarea x=-\sqrt{10} corespunde ecuației.

$$2=2$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$