Rezolvați sqrt{x+1/3}+5x=3x-1

$$\sqrt { \frac { x + 1 } { 3 } } + 5 x = 3 x - 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Pașii soluției

Scădeți 5x din ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\frac{x+1}{3}}=3x-1-5x$$

Combinați 3x cu -5x pentru a obține -2x.

$$\sqrt{\frac{x+1}{3}}=-2x-1$$

Împărțiți fiecare termen din x+1 la 3 pentru a obține \frac{1}{3}x+\frac{1}{3}.

$$\sqrt{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}=-2x-1$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}\right)^{2}=\left(-2x-1\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}} la puterea 2 și obțineți \frac{1}{3}x+\frac{1}{3}.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}=\left(-2x-1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-2x-1\right)^{2}.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}=4x^{2}+4x+1$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}-4x^{2}=4x+1$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}-4x^{2}-4x=1$$

Combinați \frac{1}{3}x cu -4x pentru a obține -\frac{11}{3}x.

$$-\frac{11}{3}x+\frac{1}{3}-4x^{2}=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$-\frac{11}{3}x+\frac{1}{3}-4x^{2}-1=0$$

Scădeți 1 din \frac{1}{3} pentru a obține -\frac{2}{3}.

$$-\frac{11}{3}x-\frac{2}{3}-4x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4x^{2}-\frac{11}{3}x-\frac{2}{3}=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu -\frac{11}{3} și c cu -\frac{2}{3} în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-\frac{2}{3}\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați -\frac{11}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{3}\right)±\sqrt{\frac{121}{9}-4\left(-4\right)\left(-\frac{2}{3}\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{3}\right)±\sqrt{\frac{121}{9}+16\left(-\frac{2}{3}\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 16 cu -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{3}\right)±\sqrt{\frac{121}{9}-\frac{32}{3}}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați \frac{121}{9} cu -\frac{32}{3} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{3}\right)±\sqrt{\frac{25}{9}}}{2\left(-4\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru \frac{25}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{3}\right)±\frac{5}{3}}{2\left(-4\right)}$$

Opusul lui -\frac{11}{3} este \frac{11}{3}.

$$x=\frac{\frac{11}{3}±\frac{5}{3}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$x=\frac{\frac{11}{3}±\frac{5}{3}}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{\frac{11}{3}±\frac{5}{3}}{-8} atunci când ± este plus. Adunați \frac{11}{3} cu \frac{5}{3} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{\frac{16}{3}}{-8}$$

Împărțiți \frac{16}{3} la -8.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{\frac{11}{3}±\frac{5}{3}}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți \frac{5}{3} din \frac{11}{3} găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{2}{-8}$$

Reduceți fracția \frac{2}{-8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{2}{3} x=-\frac{1}{4}$$

Înlocuiți x cu -\frac{2}{3} în ecuația \sqrt{\frac{x+1}{3}}+5x=3x-1.

$$\sqrt{\frac{-\frac{2}{3}+1}{3}}+5\left(-\frac{2}{3}\right)=3\left(-\frac{2}{3}\right)-1$$

Simplificați. Valoarea x=-\frac{2}{3} corespunde ecuației.

$$-3=-3$$

Înlocuiți x cu -\frac{1}{4} în ecuația \sqrt{\frac{x+1}{3}}+5x=3x-1.

$$\sqrt{\frac{-\frac{1}{4}+1}{3}}+5\left(-\frac{1}{4}\right)=3\left(-\frac{1}{4}\right)-1$$

Simplificați. Valoarea x=-\frac{1}{4} nu respectă ecuația.

$$-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Ecuația \sqrt{\frac{x+1}{3}}=-2x-1 are o soluție unică.

$$x=-\frac{2}{3}$$