Rezolvați sinh(1)=

$$\sin h ( 1 ) =$$

Calculați derivata în funcție de h

$$\cos(h)$$

Pași folosind definiția unei derivate

Pentru o funcție f\left(x\right), derivata este limită de \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} când h tinde spre 0, dacă există această limită.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\sin(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h+t)-\sin(h)}{t}\right)$$

Utilizați formula de sumă pentru sinus.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(h)}{t}$$

Scoateți factorul comun \sin(h).

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h)\left(\cos(t)-1\right)+\cos(h)\sin(t)}{t}$$

Rescrieți limita.

$$\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Utilizați faptul că h este o constantă atunci când calculați limitele, când t tinde spre 0.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Limita \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} este 1.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)$$

Pentru a evalua limita \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}, înmulțiți mai întâi numărătorul și numitorul cu \cos(t)+1.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

Înmulțiți \cos(t)+1 cu \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Folosiți identitatea lui Pitagora.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Rescrieți limita.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Limita \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} este 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Utilizați faptul că \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} este continuă în 0.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

Înlocuiți valoarea 0 în expresia \sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h).

$$\cos(h)$$

Evaluați

$$\sin(h)$$