Direct la conținutul principal
Calculați derivata în funcție de x
Tick mark Image
Evaluați
Tick mark Image
Grafic

Partajați

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)
Pentru o funcție f\left(x\right), derivata este limită de \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} când h tinde spre 0, dacă există această limită.
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
Utilizați formula de sumă pentru sinus.
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}
Scoateți factorul comun \sin(x).
\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Rescrieți limita.
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Utilizați faptul că x este o constantă atunci când calculați limitele, când h tinde spre 0.
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)
Limita \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} este 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
Pentru a evalua limita \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, înmulțiți mai întâi numărătorul și numitorul cu \cos(h)+1.
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Înmulțiți \cos(h)+1 cu \cos(h)-1.
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Folosiți identitatea lui Pitagora.
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Rescrieți limita.
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Limita \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} este 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
Utilizați faptul că \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} este continuă în 0.
\cos(x)
Înlocuiți valoarea 0 în expresia \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).