Rezolvați sin(θ)

$$\sin ( \theta )$$

Calculați derivata în funcție de θ

$$\cos(\theta )$$

Pași folosind definiția unei derivate

Pentru o funcție f\left(x\right), derivata este limită de \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} când h tinde spre 0, dacă există această limită.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\sin(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\theta +h)-\sin(\theta )}{h}\right)$$

Utilizați formula de sumă pentru sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h+\theta )-\sin(\theta )}{h}$$

Scoateți factorul comun \sin(\theta ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\theta )\left(\cos(h)-1\right)+\cos(\theta )\sin(h)}{h}$$

Rescrieți limita.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Utilizați faptul că \theta este o constantă atunci când calculați limitele, când h tinde spre 0.

$$\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Limita \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } este 1.

$$\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta )$$

Pentru a evalua limita \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, înmulțiți mai întâi numărătorul și numitorul cu \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Înmulțiți \cos(h)+1 cu \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Folosiți identitatea lui Pitagora.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Rescrieți limita.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Limita \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } este 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Utilizați faptul că \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} este continuă în 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Înlocuiți valoarea 0 în expresia \sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta ).

$$\cos(\theta )$$

Evaluați

$$\sin(\theta )$$