Rezolvați quadx^2+9x+20=0

$$\quad x ^ { 2 } + 9 x + 20 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

$$x=-4$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+9x+20 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=9 ab=20$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=4 b=5$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+4=0 și x+5=0.

$$x=-4 x=-5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=9 ab=1\times 20=20$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=4 b=5$$

Rescrieți x^{2}+9x+20 ca \left(x^{2}+4x\right)+\left(5x+20\right).

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(5x+20\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(x+4\right)+5\left(x+4\right)$$

Scoateți termenul comun x+4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+4=0 și x+5=0.

$$x=-4 x=-5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+9x+20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 9 și c cu 20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 20}}{2}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 20}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 20.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2}$$

Adunați 81 cu -80.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-9±1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±1}{2} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 1.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$x=-4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±1}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -9.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Împărțiți -10 la 2.

$$x=-5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-4 x=-5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+9x+20=0$$

Scădeți 20 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+9x+20-20=-20$$

Scăderea 20 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+9x=-20$$

Împărțiți 9, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{9}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-20+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{9}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=-20+\frac{81}{4}$$

Adunați -20 cu \frac{81}{4}.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}+9x+\frac{81}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{9}{2}=\frac{1}{2} x+\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}$$

Scădeți \frac{9}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-4 x=-5$$