Rezolvați quadtext{17}x-3/x+3+x+3/x-3=21/2

$$\quad \text { 17 } \frac { x - 3 } { x + 3 } + \frac { x + 3 } { x - 3 } = 2 \frac { 1 } { 2 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}\approx 3,096774194-1,520925837i$$

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}\approx 3,096774194+1,520925837i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x+3,x-3,2.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 17 cu 2x-6.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 34x-102 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+6 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Combinați 34x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 36x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Combinați -204x cu 12x pentru a obține -192x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Adunați 306 și 18 pentru a obține 324.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Adunați 4 și 1 pentru a obține 5.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-9 cu 5.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Combinați 36x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține 31x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Adăugați 45 la ambele părți.

$$31x^{2}-192x+324+45=0$$

Adunați 324 și 45 pentru a obține 369.

$$31x^{2}-192x+369=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 31, b cu -192 și c cu 369 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{\left(-192\right)^{2}-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Ridicați -192 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Înmulțiți -4 cu 31.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-124\times 369}}{2\times 31}$$

Înmulțiți -124 cu 369.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-45756}}{2\times 31}$$

Adunați 36864 cu -45756.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{-8892}}{2\times 31}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -8892.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Opusul lui -192 este 192.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Înmulțiți 2 cu 31.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62} atunci când ± este plus. Adunați 192 cu 6i\sqrt{247}.

$$x=\frac{192+6\sqrt{247}i}{62}$$

Împărțiți 192+6i\sqrt{247} la 62.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62} atunci când ± este minus. Scădeți 6i\sqrt{247} din 192.

$$x=\frac{-6\sqrt{247}i+192}{62}$$

Împărțiți 192-6i\sqrt{247} la 62.

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x+3,x-3,2.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 17 cu 2x-6.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 34x-102 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+6 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Combinați 34x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 36x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Combinați -204x cu 12x pentru a obține -192x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Adunați 306 și 18 pentru a obține 324.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Adunați 4 și 1 pentru a obține 5.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-9 cu 5.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Combinați 36x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține 31x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Scădeți 324 din ambele părți.

$$31x^{2}-192x=-45-324$$

Scădeți 324 din -45 pentru a obține -369.

$$31x^{2}-192x=-369$$

Se împart ambele părți la 31.

$$\frac{31x^{2}-192x}{31}=-\frac{369}{31}$$

Împărțirea la 31 anulează înmulțirea cu 31.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x=-\frac{369}{31}$$

Împărțiți -\frac{192}{31}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{96}{31}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{96}{31} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{369}{31}+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{96}{31} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{369}{31}+\frac{9216}{961}$$

Adunați -\frac{369}{31} cu \frac{9216}{961} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{2223}{961}$$

Factor x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{2223}{961}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2223}{961}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{96}{31}=\frac{3\sqrt{247}i}{31} x-\frac{96}{31}=-\frac{3\sqrt{247}i}{31}$$

Adunați \frac{96}{31} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$