Rezolvați {l}{3x+5y=4}{x-3y=6}

$$\left.\begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right\}$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$3x+5y=4$$

Scădeți 5y din ambele părți ale ecuației.

$$3x=-5y+4$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Înlocuiți x cu \frac{-5y+4}{3} în cealaltă ecuație, x-3y=6.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-3y=6$$

Adunați -\frac{5y}{3} cu -3y.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{4}{3}=6$$

Scădeți \frac{4}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{14}{3}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -\frac{14}{3}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{4}{3}$$

Înmulțiți -\frac{5}{3} cu -1.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Adunați \frac{4}{3} cu \frac{5}{3} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=3,y=-1$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 4+\frac{5}{14}\times 6\\\frac{1}{14}\times 4-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=3,y=-1$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Pentru a egala 3x și x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 3.

$$3x+5y=4,3x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Simplificați.

$$3x+5y=4,3x-9y=18$$

Scădeți pe 3x-9y=18 din 3x+5y=4 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$3x-3x+5y+9y=4-18$$

Adunați 3x cu -3x. Termenii 3x și -3x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$5y+9y=4-18$$

Adunați 5y cu 9y.

$$14y=4-18$$

Adunați 4 cu -18.

$$14y=-14$$

Se împart ambele părți la 14.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în x-3y=6. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x-3\left(-1\right)=6$$

Înmulțiți -3 cu -1.

$$x+3=6$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$x=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=3,y=-1$$