Rezolvați {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=8$$

$$y=-3$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați y la ambele părți.

$$x+y=5$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+y=5$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-y+5$$

Înlocuiți x cu -y+5 în cealaltă ecuație, 7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

Înmulțiți 7 cu -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

Adunați -7y cu 3y.

$$-4y+35=47$$

Scădeți 35 din ambele părți ale ecuației.

$$-4y=12$$

Se împart ambele părți la -4.

$$y=-3$$

Înlocuiți y cu -3 în x=-y+5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

Înmulțiți -1 cu -3.

$$x=3+5$$

Adunați 5 cu 3.

$$x=8$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=8,y=-3$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați y la ambele părți.

$$x+y=5$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=8,y=-3$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați y la ambele părți.

$$x+y=5$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Pentru a egala x și 7x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 7 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Simplificați.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

Scădeți pe 7x+3y=47 din 7x+7y=35 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

Adunați 7x cu -7x. Termenii 7x și -7x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$7y-3y=35-47$$

Adunați 7y cu -3y.

$$4y=35-47$$

Adunați 35 cu -47.

$$4y=-12$$

Se împart ambele părți la 4.

$$y=-3$$

Înlocuiți y cu -3 în 7x+3y=47. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

Înmulțiți 3 cu -3.

$$7x-9=47$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$7x=56$$

Se împart ambele părți la 7.

$$x=8$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=8,y=-3$$