Rezolvați {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Adunați 3 și 1 pentru a obține 4.

$$x+2y=4+3y$$

Scădeți 3y din ambele părți.

$$x+2y-3y=4$$

Combinați 2y cu -3y pentru a obține -y.

$$x-y=4$$

Luați în considerare a doua ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Adăugați 2y la ambele părți.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combinați -y cu 2y pentru a obține y.

$$8+y=2+3x$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$8+y-3x=2$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$y-3x=2-8$$

Scădeți 8 din 2 pentru a obține -6.

$$y-3x=-6$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x-y=4$$

Adunați y la ambele părți ale ecuației.

$$x=y+4$$

Înlocuiți x cu y+4 în cealaltă ecuație, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Înmulțiți -3 cu y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Adunați -3y cu y.

$$-2y-12=-6$$

Adunați 12 la ambele părți ale ecuației.

$$-2y=6$$

Se împart ambele părți la -2.

$$y=-3$$

Înlocuiți y cu -3 în x=y+4. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-3+4$$

Adunați 4 cu -3.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=-3$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Adunați 3 și 1 pentru a obține 4.

$$x+2y=4+3y$$

Scădeți 3y din ambele părți.

$$x+2y-3y=4$$

Combinați 2y cu -3y pentru a obține -y.

$$x-y=4$$

Luați în considerare a doua ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Adăugați 2y la ambele părți.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combinați -y cu 2y pentru a obține y.

$$8+y=2+3x$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$8+y-3x=2$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$y-3x=2-8$$

Scădeți 8 din 2 pentru a obține -6.

$$y-3x=-6$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=1,y=-3$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Adunați 3 și 1 pentru a obține 4.

$$x+2y=4+3y$$

Scădeți 3y din ambele părți.

$$x+2y-3y=4$$

Combinați 2y cu -3y pentru a obține -y.

$$x-y=4$$

Luați în considerare a doua ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Adăugați 2y la ambele părți.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combinați -y cu 2y pentru a obține y.

$$8+y=2+3x$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$8+y-3x=2$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$y-3x=2-8$$

Scădeți 8 din 2 pentru a obține -6.

$$y-3x=-6$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Pentru a egala x și -3x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -3 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Simplificați.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Scădeți pe -3x+y=-6 din -3x+3y=-12 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Adunați -3x cu 3x. Termenii -3x și 3x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$3y-y=-12+6$$

Adunați 3y cu -y.

$$2y=-12+6$$

Adunați -12 cu 6.

$$2y=-6$$

Se împart ambele părți la 2.

$$y=-3$$

Înlocuiți y cu -3 în -3x+y=-6. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$-3x-3=-6$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$-3x=-3$$

Se împart ambele părți la -3.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=-3$$