Rezolvați {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$5x-4y=-7$$

Adunați 4y la ambele părți ale ecuației.

$$5x=4y-7$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{5} cu 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Înlocuiți x cu \frac{4y-7}{5} în cealaltă ecuație, -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Înmulțiți -6 cu \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Adunați -\frac{24y}{5} cu 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Scădeți \frac{42}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{16}{5}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=-2$$

Înlocuiți y cu -2 în x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Înmulțiți \frac{4}{5} cu -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Adunați -\frac{7}{5} cu -\frac{8}{5} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-3,y=-2$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-3,y=-2$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Pentru a egala 5x și -6x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -6 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Simplificați.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Scădeți pe -30x+40y=10 din -30x+24y=42 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Adunați -30x cu 30x. Termenii -30x și 30x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$24y-40y=42-10$$

Adunați 24y cu -40y.

$$-16y=42-10$$

Adunați 42 cu -10.

$$-16y=32$$

Se împart ambele părți la -16.

$$y=-2$$

Înlocuiți y cu -2 în -6x+8y=2. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Înmulțiți 8 cu -2.

$$-6x-16=2$$

Adunați 16 la ambele părți ale ecuației.

$$-6x=18$$

Se împart ambele părți la -6.

$$x=-3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-3,y=-2$$