Rezolvați {r}{2x+3y=10}{-3x+y=18}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-4$$

$$y=6$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x+3y=10$$

Scădeți 3y din ambele părți ale ecuației.

$$2x=-3y+10$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Înlocuiți x cu -\frac{3y}{2}+5 în cealaltă ecuație, -3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

Înmulțiți -3 cu -\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

Adunați \frac{9y}{2} cu y.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$\frac{11}{2}y=33$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{11}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=6$$

Înlocuiți y cu 6 în x=-\frac{3}{2}y+5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

Înmulțiți -\frac{3}{2} cu 6.

$$x=-9+5$$

Adunați 5 cu -9.

$$x=-4$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-4,y=6$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-4,y=6$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Pentru a egala 2x și -3x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -3 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

Simplificați.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

Scădeți pe -6x+2y=36 din -6x-9y=-30 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

Adunați -6x cu 6x. Termenii -6x și 6x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-9y-2y=-30-36$$

Adunați -9y cu -2y.

$$-11y=-30-36$$

Adunați -30 cu -36.

$$-11y=-66$$

Se împart ambele părți la -11.

$$y=6$$

Înlocuiți y cu 6 în -3x+y=18. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$-3x+6=18$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$-3x=12$$

Se împart ambele părți la -3.

$$x=-4$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-4,y=6$$