Rezolvați {l}{y=-x}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=-2$$

$$y=2$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați x la ambele părți.

$$y+x=0$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=6$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y+x=0$$

Scădeți x din ambele părți ale ecuației.

$$y=-x$$

Înlocuiți y cu -x în cealaltă ecuație, y-2x=6.

$$-x-2x=6$$

Adunați -x cu -2x.

$$-3x=6$$

Se împart ambele părți la -3.

$$x=-2$$

Înlocuiți x cu -2 în y=-x. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=-\left(-2\right)$$

Înmulțiți -1 cu -2.

$$y=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=2,x=-2$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați x la ambele părți.

$$y+x=0$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=6$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=2,x=-2$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați x la ambele părți.

$$y+x=0$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=6$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Scădeți pe y-2x=6 din y+x=0 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$y-y+x+2x=-6$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$x+2x=-6$$

Adunați x cu 2x.

$$3x=-6$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=-2$$

Înlocuiți x cu -2 în y-2x=6. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y-2\left(-2\right)=6$$

Înmulțiți -2 cu -2.

$$y+4=6$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$y=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=2,x=-2$$