Rezolvați {l}{y=-3x+5}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x + 5 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=1$$

$$y=2$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați 3x la ambele părți.

$$y+3x=5$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=0$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y+3x=5$$

Scădeți 3x din ambele părți ale ecuației.

$$y=-3x+5$$

Înlocuiți y cu -3x+5 în cealaltă ecuație, y-2x=0.

$$-3x+5-2x=0$$

Adunați -3x cu -2x.

$$-5x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$-5x=-5$$

Se împart ambele părți la -5.

$$x=1$$

Înlocuiți x cu 1 în y=-3x+5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=-3+5$$

Adunați 5 cu -3.

$$y=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=2,x=1$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați 3x la ambele părți.

$$y+3x=5$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=0$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{3}{-2-3}\\-\frac{1}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=2,x=1$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați 3x la ambele părți.

$$y+3x=5$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=0$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Scădeți pe y-2x=0 din y+3x=5 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$y-y+3x+2x=5$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$3x+2x=5$$

Adunați 3x cu 2x.

$$5x=5$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x=1$$

Înlocuiți x cu 1 în y-2x=0. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y-2=0$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$y=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=2,x=1$$