Rezolvați {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=10$$

$$y=7$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x-3-y=0$$

Adăugați 3 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$x-y=3$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$37-3x-y=0$$

Scădeți 37 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-3x-y=-37$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x-y=3$$

Adunați y la ambele părți ale ecuației.

$$x=y+3$$

Înlocuiți x cu y+3 în cealaltă ecuație, -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Înmulțiți -3 cu y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Adunați -3y cu -y.

$$-4y-9=-37$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$-4y=-28$$

Se împart ambele părți la -4.

$$y=7$$

Înlocuiți y cu 7 în x=y+3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=7+3$$

Adunați 3 cu 7.

$$x=10$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=10,y=7$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x-3-y=0$$

Adăugați 3 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$x-y=3$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$37-3x-y=0$$

Scădeți 37 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-3x-y=-37$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=10,y=7$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x-3-y=0$$

Adăugați 3 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$x-y=3$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$37-3x-y=0$$

Scădeți 37 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-3x-y=-37$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Scădeți pe -3x-y=-37 din x-y=3 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Adunați -y cu y. Termenii -y și y se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$x+3x=3+37$$

Adunați x cu 3x.

$$4x=3+37$$

Adunați 3 cu 37.

$$4x=40$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=10$$

Înlocuiți x cu 10 în -3x-y=-37. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$-3\times 10-y=-37$$

Înmulțiți -3 cu 10.

$$-30-y=-37$$

Adunați 30 la ambele părți ale ecuației.

$$-y=-7$$

Se împart ambele părți la -1.

$$y=7$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=10,y=7$$