Rezolvați {l}{x^2+y^2=4}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

Pași folosind substituirea și formula rădăcinilor ecuației de gradul doi

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

Rezolvați x+y=1 pentru x prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+y=1$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-y+1$$

Înlocuiți x cu -y+1 în cealaltă ecuație, y^{2}+x^{2}=4.

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

Ridicați -y+1 la pătrat.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

Adunați y^{2} cu y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=4$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$2y^{2}-2y-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1+1\left(-1\right)^{2}, b cu 1\times 1\left(-1\right)\times 2 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 1\times 1\left(-1\right)\times 2 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -3.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Adunați 4 cu 24.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 28.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Opusul lui 1\times 1\left(-1\right)\times 2 este 2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Împărțiți 2+2\sqrt{7} la 4.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{7} din 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Împărțiți 2-2\sqrt{7} la 4.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Există două soluții pentru y: \frac{1+\sqrt{7}}{2} și \frac{1-\sqrt{7}}{2}. Înlocuiți y cu \frac{1+\sqrt{7}}{2} în ecuația x=-y+1, pentru a găsi soluția corespondentă pentru x care îndeplinește ambele ecuații.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

Acum înlocuiți y cu \frac{1-\sqrt{7}}{2} în ecuația x=-y+1 și rezolvați pentru a găsi soluția corespunzătoare pentru x care rezolvă ambele ecuații.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$