Rezolvați {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 3y din ambele părți.

$$x+36-3y=0$$

Scădeți 36 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$x-3y=-36$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+y=90$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-y+90$$

Înlocuiți x cu -y+90 în cealaltă ecuație, x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Adunați -y cu -3y.

$$-4y+90=-36$$

Scădeți 90 din ambele părți ale ecuației.

$$-4y=-126$$

Se împart ambele părți la -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Înlocuiți y cu \frac{63}{2} în x=-y+90. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Adunați 90 cu -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 3y din ambele părți.

$$x+36-3y=0$$

Scădeți 36 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$x-3y=-36$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 3y din ambele părți.

$$x+36-3y=0$$

Scădeți 36 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$x-3y=-36$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Scădeți pe x-3y=-36 din x+y=90 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Adunați x cu -x. Termenii x și -x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$y+3y=90+36$$

Adunați y cu 3y.

$$4y=90+36$$

Adunați 90 cu 36.

$$4y=126$$

Se împart ambele părți la 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Înlocuiți y cu \frac{63}{2} în x-3y=-36. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Înmulțiți -3 cu \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Adunați \frac{189}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{117}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$