Rezolvați {l}{x+y=4}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+y=4,x-y=4$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+y=4$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-y+4$$

Înlocuiți x cu -y+4 în cealaltă ecuație, x-y=4.

$$-y+4-y=4$$

Adunați -y cu -y.

$$-2y+4=4$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$-2y=0$$

Se împart ambele părți la -2.

$$y=0$$

Înlocuiți y cu 0 în x=-y+4. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=4$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=4,y=0$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+y=4,x-y=4$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=4,y=0$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+y=4,x-y=4$$

Scădeți pe x-y=4 din x+y=4 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x-x+y+y=4-4$$

Adunați x cu -x. Termenii x și -x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$y+y=4-4$$

Adunați y cu y.

$$2y=4-4$$

Adunați 4 cu -4.

$$2y=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$y=0$$

Înlocuiți y cu 0 în x-y=4. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=4$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=4,y=0$$