Rezolvați {l}{x+y=27}{x-y=-145}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 27 } \\ { x - y = - 145 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-59$$

$$y=86$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+y=27$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-y+27$$

Înlocuiți x cu -y+27 în cealaltă ecuație, x-y=-145.

$$-y+27-y=-145$$

Adunați -y cu -y.

$$-2y+27=-145$$

Scădeți 27 din ambele părți ale ecuației.

$$-2y=-172$$

Se împart ambele părți la -2.

$$y=86$$

Înlocuiți y cu 86 în x=-y+27. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-86+27$$

Adunați 27 cu -86.

$$x=-59$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-59,y=86$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27+\frac{1}{2}\left(-145\right)\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{1}{2}\left(-145\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-59\\86\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-59,y=86$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Scădeți pe x-y=-145 din x+y=27 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x-x+y+y=27+145$$

Adunați x cu -x. Termenii x și -x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$y+y=27+145$$

Adunați y cu y.

$$2y=27+145$$

Adunați 27 cu 145.

$$2y=172$$

Se împart ambele părți la 2.

$$y=86$$

Înlocuiți y cu 86 în x-y=-145. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x-86=-145$$

Adunați 86 la ambele părți ale ecuației.

$$x=-59$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-59,y=86$$