Rezolvați {l}{x+y=1}{3x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+y=1$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-y+1$$

Înlocuiți x cu -y+1 în cealaltă ecuație, 3x+y=5.

$$3\left(-y+1\right)+y=5$$

Înmulțiți 3 cu -y+1.

$$-3y+3+y=5$$

Adunați -3y cu y.

$$-2y+3=5$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$-2y=2$$

Se împart ambele părți la -2.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în x=-y+1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\left(-1\right)+1$$

Înmulțiți -1 cu -1.

$$x=1+1$$

Adunați 1 cu 1.

$$x=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=-1$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=2,y=-1$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Scădeți pe 3x+y=5 din x+y=1 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x-3x+y-y=1-5$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$x-3x=1-5$$

Adunați x cu -3x.

$$-2x=1-5$$

Adunați 1 cu -5.

$$-2x=-4$$

Se împart ambele părți la -2.

$$x=2$$

Înlocuiți x cu 2 în 3x+y=5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$3\times 2+y=5$$

Înmulțiți 3 cu 2.

$$6+y=5$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$y=-1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=-1$$