Rezolvați {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+3y=7$$

Scădeți 3y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-3y+7$$

Înlocuiți x cu -3y+7 în cealaltă ecuație, 3x+y=17.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

Înmulțiți 3 cu -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

Adunați -9y cu y.

$$-8y+21=17$$

Scădeți 21 din ambele părți ale ecuației.

$$-8y=-4$$

Se împart ambele părți la -8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Înlocuiți y cu \frac{1}{2} în x=-3y+7. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

Înmulțiți -3 cu \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

Adunați 7 cu -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Pentru a egala x și 3x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 3 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

Simplificați.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

Scădeți pe 3x+y=17 din 3x+9y=21 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

Adunați 3x cu -3x. Termenii 3x și -3x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$9y-y=21-17$$

Adunați 9y cu -y.

$$8y=21-17$$

Adunați 21 cu -17.

$$8y=4$$

Se împart ambele părți la 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Înlocuiți y cu \frac{1}{2} în 3x+y=17. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$3x=\frac{33}{2}$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$