Rezolvați {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=5$$

$$y=20$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x+15-y=0$$

Scădeți 15 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$x-y=-15$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$4x-y=0$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x-y=-15$$

Adunați y la ambele părți ale ecuației.

$$x=y-15$$

Înlocuiți x cu y-15 în cealaltă ecuație, 4x-y=0.

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

Înmulțiți 4 cu y-15.

$$4y-60-y=0$$

Adunați 4y cu -y.

$$3y-60=0$$

Adunați 60 la ambele părți ale ecuației.

$$3y=60$$

Se împart ambele părți la 3.

$$y=20$$

Înlocuiți y cu 20 în x=y-15. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=20-15$$

Adunați -15 cu 20.

$$x=5$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=5,y=20$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x+15-y=0$$

Scădeți 15 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$x-y=-15$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$4x-y=0$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=5,y=20$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x+15-y=0$$

Scădeți 15 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$x-y=-15$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$4x-y=0$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Scădeți pe 4x-y=0 din x-y=-15 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x-4x-y+y=-15$$

Adunați -y cu y. Termenii -y și y se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$x-4x=-15$$

Adunați x cu -4x.

$$-3x=-15$$

Se împart ambele părți la -3.

$$x=5$$

Înlocuiți x cu 5 în 4x-y=0. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$4\times 5-y=0$$

Înmulțiți 4 cu 5.

$$20-y=0$$

Scădeți 20 din ambele părți ale ecuației.

$$-y=-20$$

Se împart ambele părți la -1.

$$y=20$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=5,y=20$$