Rezolvați {l}{800=x+20y}{700=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=400$$

$$y=20$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x+20y=800$$

Luați în considerare a doua ecuație. Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x+15y=700$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+20y=800$$

Scădeți 20y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-20y+800$$

Înlocuiți x cu -20y+800 în cealaltă ecuație, x+15y=700.

$$-20y+800+15y=700$$

Adunați -20y cu 15y.

$$-5y+800=700$$

Scădeți 800 din ambele părți ale ecuației.

$$-5y=-100$$

Se împart ambele părți la -5.

$$y=20$$

Înlocuiți y cu 20 în x=-20y+800. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-20\times 20+800$$

Înmulțiți -20 cu 20.

$$x=-400+800$$

Adunați 800 cu -400.

$$x=400$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=400,y=20$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x+20y=800$$

Luați în considerare a doua ecuație. Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x+15y=700$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=400,y=20$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x+20y=800$$

Luați în considerare a doua ecuație. Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x+15y=700$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Scădeți pe x+15y=700 din x+20y=800 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Adunați x cu -x. Termenii x și -x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$20y-15y=800-700$$

Adunați 20y cu -15y.

$$5y=800-700$$

Adunați 800 cu -700.

$$5y=100$$

Se împart ambele părți la 5.

$$y=20$$

Înlocuiți y cu 20 în x+15y=700. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x+15\times 20=700$$

Înmulțiți 15 cu 20.

$$x+300=700$$

Scădeți 300 din ambele părți ale ecuației.

$$x=400$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=400,y=20$$