Rezolvați {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$5x+y=9$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$5x=-y+9$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{5} cu -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Înlocuiți x cu \frac{-y+9}{5} în cealaltă ecuație, 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Înmulțiți 10 cu \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Adunați -2y cu -7y.

$$-9y+18=-18$$

Scădeți 18 din ambele părți ale ecuației.

$$-9y=-36$$

Se împart ambele părți la -9.

$$y=4$$

Înlocuiți y cu 4 în x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Înmulțiți -\frac{1}{5} cu 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Adunați \frac{9}{5} cu -\frac{4}{5} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=4$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=1,y=4$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Pentru a egala 5x și 10x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 10 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Simplificați.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Scădeți pe 50x-35y=-90 din 50x+10y=90 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Adunați 50x cu -50x. Termenii 50x și -50x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$10y+35y=90+90$$

Adunați 10y cu 35y.

$$45y=90+90$$

Adunați 90 cu 90.

$$45y=180$$

Se împart ambele părți la 45.

$$y=4$$

Înlocuiți y cu 4 în 10x-7y=-18. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$10x-7\times 4=-18$$

Înmulțiți -7 cu 4.

$$10x-28=-18$$

Adunați 28 la ambele părți ale ecuației.

$$10x=10$$

Se împart ambele părți la 10.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=4$$