Rezolvați {l}{4x+y=8}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 8 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$4x+y=8$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$4x=-y+8$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{4} cu -y+8.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

Înlocuiți x cu -\frac{y}{4}+2 în cealaltă ecuație, x-y=2.

$$-\frac{1}{4}y+2-y=2$$

Adunați -\frac{y}{4} cu -y.

$$-\frac{5}{4}y+2=2$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{5}{4}y=0$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -\frac{5}{4}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=0$$

Înlocuiți y cu 0 în x=-\frac{1}{4}y+2. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=0$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&\frac{4}{4\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{4}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=2,y=0$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Pentru a egala 4x și x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 4.

$$4x+y=8,4x+4\left(-1\right)y=4\times 2$$

Simplificați.

$$4x+y=8,4x-4y=8$$

Scădeți pe 4x-4y=8 din 4x+y=8 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$4x-4x+y+4y=8-8$$

Adunați 4x cu -4x. Termenii 4x și -4x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$y+4y=8-8$$

Adunați y cu 4y.

$$5y=8-8$$

Adunați 8 cu -8.

$$5y=0$$

Se împart ambele părți la 5.

$$y=0$$

Înlocuiți y cu 0 în x-y=2. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=0$$