Rezolvați {l}{4x+y=7}{3x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$4x+y=7$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$4x=-y+7$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{4} cu -y+7.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

Înlocuiți x cu \frac{-y+7}{4} în cealaltă ecuație, 3x+2y=9.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

Înmulțiți 3 cu \frac{-y+7}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

Adunați -\frac{3y}{4} cu 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Scădeți \frac{21}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{5}{4}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=3$$

Înlocuiți y cu 3 în x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

Înmulțiți -\frac{1}{4} cu 3.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

Adunați \frac{7}{4} cu -\frac{3}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=3$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=1,y=3$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Pentru a egala 4x și 3x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 3 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

Simplificați.

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

Scădeți pe 12x+8y=36 din 12x+3y=21 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

Adunați 12x cu -12x. Termenii 12x și -12x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$3y-8y=21-36$$

Adunați 3y cu -8y.

$$-5y=21-36$$

Adunați 21 cu -36.

$$-5y=-15$$

Se împart ambele părți la -5.

$$y=3$$

Înlocuiți y cu 3 în 3x+2y=9. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$3x+2\times 3=9$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$3x+6=9$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$3x=3$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=3$$