Rezolvați {l}{4x+2y=2}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 2 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$4x+2y=2$$

Scădeți 2y din ambele părți ale ecuației.

$$4x=-2y+2$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+2\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{4} cu -2y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{-y+1}{2} în cealaltă ecuație, x+y=4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Adunați -\frac{y}{2} cu y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Se înmulțesc ambele părți cu 2.

$$y=7$$

Înlocuiți y cu 7 în x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Înmulțiți -\frac{1}{2} cu 7.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} cu -\frac{7}{2} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-3,y=7$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-4\\-\frac{1}{2}\times 2+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-3,y=7$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Pentru a egala 4x și x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 4.

$$4x+2y=2,4x+4y=4\times 4$$

Simplificați.

$$4x+2y=2,4x+4y=16$$

Scădeți pe 4x+4y=16 din 4x+2y=2 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$4x-4x+2y-4y=2-16$$

Adunați 4x cu -4x. Termenii 4x și -4x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$2y-4y=2-16$$

Adunați 2y cu -4y.

$$-2y=2-16$$

Adunați 2 cu -16.

$$-2y=-14$$

Se împart ambele părți la -2.

$$y=7$$

Înlocuiți y cu 7 în x+y=4. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x+7=4$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-3,y=7$$