Rezolvați {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x_{1}, prin izolarea lui x_{1} pe partea din stânga semnului egal.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Scădeți 3x_{2} din ambele părți ale ecuației.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Înlocuiți x_{1} cu \frac{-3x_{2}+7}{2} în cealaltă ecuație, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Înmulțiți 4 cu \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Adunați -6x_{2} cu -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Scădeți 14 din ambele părți ale ecuației.

$$-10x_{2}=-20$$

Se împart ambele părți la -10.

$$x_{2}=2$$

Înlocuiți x_{2} cu 2 în x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x_{1} se poate rezolva direct.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Înmulțiți -\frac{3}{2} cu 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{7}{2} cu -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x_{1} și x_{2} ale matricei.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Pentru a egala 2x_{1} și 4x_{1}, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 4 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Simplificați.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Scădeți pe 8x_{1}-8x_{2}=-12 din 8x_{1}+12x_{2}=28 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Adunați 8x_{1} cu -8x_{1}. Termenii 8x_{1} și -8x_{1} se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Adunați 12x_{2} cu 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Adunați 28 cu 12.

$$20x_{2}=40$$

Se împart ambele părți la 20.

$$x_{2}=2$$

Înlocuiți x_{2} cu 2 în 4x_{1}-4x_{2}=-6. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x_{1} se poate rezolva direct.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Adunați 8 la ambele părți ale ecuației.

$$4x_{1}=2$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$