Rezolvați {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x+5y=259$$

Scădeți 5y din ambele părți ale ecuației.

$$2x=-5y+259$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{-5y+259}{2} în cealaltă ecuație, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Înmulțiți 199 cu \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Adunați -\frac{995y}{2} cu -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Scădeți \frac{51541}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -\frac{999}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Înlocuiți y cu \frac{16429}{333} în x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Înmulțiți -\frac{5}{2} cu \frac{16429}{333} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Adunați \frac{259}{2} cu -\frac{82145}{666} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Pentru a egala 2x și 199x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 199 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Simplificați.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Scădeți pe 398x-4y=2254 din 398x+995y=51541 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Adunați 398x cu -398x. Termenii 398x și -398x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$995y+4y=51541-2254$$

Adunați 995y cu 4y.

$$999y=51541-2254$$

Adunați 51541 cu -2254.

$$999y=49287$$

Se împart ambele părți la 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Înlocuiți y cu \frac{16429}{333} în 199x-2y=1127. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Înmulțiți -2 cu \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Adunați \frac{32858}{333} la ambele părți ale ecuației.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Se împart ambele părți la 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$