Rezolvați {l}{2x+4y=-4}{2x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x+4y=-4$$

Scădeți 4y din ambele părți ale ecuației.

$$2x=-4y-4$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -4y-4.

$$x=-2y-2$$

Înlocuiți x cu -2y-2 în cealaltă ecuație, 2x+y=8.

$$2\left(-2y-2\right)+y=8$$

Înmulțiți 2 cu -2y-2.

$$-4y-4+y=8$$

Adunați -4y cu y.

$$-3y-4=8$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$-3y=12$$

Se împart ambele părți la -3.

$$y=-4$$

Înlocuiți y cu -4 în x=-2y-2. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-2\left(-4\right)-2$$

Înmulțiți -2 cu -4.

$$x=8-2$$

Adunați -2 cu 8.

$$x=6$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=6,y=-4$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 2}&-\frac{4}{2-4\times 2}\\-\frac{2}{2-4\times 2}&\frac{2}{2-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=6,y=-4$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Scădeți pe 2x+y=8 din 2x+4y=-4 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$2x-2x+4y-y=-4-8$$

Adunați 2x cu -2x. Termenii 2x și -2x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$4y-y=-4-8$$

Adunați 4y cu -y.

$$3y=-4-8$$

Adunați -4 cu -8.

$$3y=-12$$

Se împart ambele părți la 3.

$$y=-4$$

Înlocuiți y cu -4 în 2x+y=8. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$2x-4=8$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$2x=12$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=6$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=6,y=-4$$