Rezolvați {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=38$$

$$y=-22$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x+3y=10$$

Scădeți 3y din ambele părți ale ecuației.

$$2x=-3y+10$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Înlocuiți x cu -\frac{3y}{2}+5 în cealaltă ecuație, 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

Înmulțiți 4 cu -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20+5y=42$$

Adunați -6y cu 5y.

$$-y+20=42$$

Scădeți 20 din ambele părți ale ecuației.

$$-y=22$$

Se împart ambele părți la -1.

$$y=-22$$

Înlocuiți y cu -22 în x=-\frac{3}{2}y+5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

Înmulțiți -\frac{3}{2} cu -22.

$$x=33+5$$

Adunați 5 cu 33.

$$x=38$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=38,y=-22$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=38,y=-22$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Pentru a egala 2x și 4x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 4 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Simplificați.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Scădeți pe 8x+10y=84 din 8x+12y=40 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

Adunați 8x cu -8x. Termenii 8x și -8x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$12y-10y=40-84$$

Adunați 12y cu -10y.

$$2y=40-84$$

Adunați 40 cu -84.

$$2y=-44$$

Se împart ambele părți la 2.

$$y=-22$$

Înlocuiți y cu -22 în 4x+5y=42. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

Înmulțiți 5 cu -22.

$$4x-110=42$$

Adunați 110 la ambele părți ale ecuației.

$$4x=152$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=38$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=38,y=-22$$