Rezolvați {l}{2x+16y=22}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x+16y=22$$

Scădeți 16y din ambele părți ale ecuației.

$$2x=-16y+22$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -16y+22.

$$x=-8y+11$$

Înlocuiți x cu -8y+11 în cealaltă ecuație, 4x+8y=20.

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

Înmulțiți 4 cu -8y+11.

$$-32y+44+8y=20$$

Adunați -32y cu 8y.

$$-24y+44=20$$

Scădeți 44 din ambele părți ale ecuației.

$$-24y=-24$$

Se împart ambele părți la -24.

$$y=1$$

Înlocuiți y cu 1 în x=-8y+11. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-8+11$$

Adunați 11 cu -8.

$$x=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=3,y=1$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=3,y=1$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Pentru a egala 2x și 4x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 4 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

Simplificați.

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

Scădeți pe 8x+16y=40 din 8x+64y=88 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

Adunați 8x cu -8x. Termenii 8x și -8x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$64y-16y=88-40$$

Adunați 64y cu -16y.

$$48y=88-40$$

Adunați 88 cu -40.

$$48y=48$$

Se împart ambele părți la 48.

$$y=1$$

Înlocuiți y cu 1 în 4x+8y=20. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$4x+8=20$$

Scădeți 8 din ambele părți ale ecuației.

$$4x=12$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=3,y=1$$