Rezolvați {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$13x+20y=48$$

Scădeți 20y din ambele părți ale ecuației.

$$13x=-20y+48$$

Se împart ambele părți la 13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{13} cu -20y+48.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

Înlocuiți x cu \frac{-20y+48}{13} în cealaltă ecuație, 20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

Înmulțiți 20 cu \frac{-20y+48}{13}.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

Adunați -\frac{400y}{13} cu 93y.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

Scădeți \frac{960}{13} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{809}{13}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Înlocuiți y cu -\frac{947}{809} în x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

Înmulțiți -\frac{20}{13} cu -\frac{947}{809} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

Adunați \frac{48}{13} cu \frac{18940}{10517} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Pentru a egala 13x și 20x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 20 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 13.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

Simplificați.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

Scădeți pe 260x+1209y=13 din 260x+400y=960 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

Adunați 260x cu -260x. Termenii 260x și -260x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$400y-1209y=960-13$$

Adunați 400y cu -1209y.

$$-809y=960-13$$

Adunați 960 cu -13.

$$-809y=947$$

Se împart ambele părți la -809.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Înlocuiți y cu -\frac{947}{809} în 20x+93y=1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

Înmulțiți 93 cu -\frac{947}{809}.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

Adunați \frac{88071}{809} la ambele părți ale ecuației.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

Se împart ambele părți la 20.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$