Rezolvați {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$12x+4y=6$$

Scădeți 4y din ambele părți ale ecuației.

$$12x=-4y+6$$

Se împart ambele părți la 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{12} cu -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Înlocuiți x cu -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} în cealaltă ecuație, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Înmulțiți 9 cu -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Adunați -3y cu 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Scădeți \frac{9}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Se împart ambele părți la 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

Înlocuiți y cu \frac{7}{26} în x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Înmulțiți -\frac{1}{3} cu \frac{7}{26} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} cu -\frac{7}{78} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{16}{39}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Pentru a egala 12x și 9x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 9 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Simplificați.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Scădeți pe 108x+192y=96 din 108x+36y=54 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Adunați 108x cu -108x. Termenii 108x și -108x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$36y-192y=54-96$$

Adunați 36y cu -192y.

$$-156y=54-96$$

Adunați 54 cu -96.

$$-156y=-42$$

Se împart ambele părți la -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

Înlocuiți y cu \frac{7}{26} în 9x+16y=8. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Înmulțiți 16 cu \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Scădeți \frac{56}{13} din ambele părți ale ecuației.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Se împart ambele părți la 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$