Rezolvați {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Variabila x nu poate fi egală cu \frac{4}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(3x-4\right), cel mai mic multiplu comun al 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$2y+2-3x=-4$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$2y-3x=-4-2$$

Scădeți 2 din -4 pentru a obține -6.

$$2y-3x=-6$$

Luați în considerare a doua ecuație. Variabila x nu poate fi egală cu -\frac{11}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$5x+y-3x=11$$

Combinați 5x cu -3x pentru a obține 2x.

$$2x+y=11$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$2y-3x=-6$$

Adunați 3x la ambele părți ale ecuației.

$$2y=3x-6$$

Se împart ambele părți la 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Înlocuiți y cu \frac{3x}{2}-3 în cealaltă ecuație, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Adunați \frac{3x}{2} cu 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{7}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$x=4$$

Înlocuiți x cu 4 în y=\frac{3}{2}x-3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Înmulțiți \frac{3}{2} cu 4.

$$y=6-3$$

Adunați -3 cu 6.

$$y=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=3,x=4$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Variabila x nu poate fi egală cu \frac{4}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(3x-4\right), cel mai mic multiplu comun al 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$2y+2-3x=-4$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$2y-3x=-4-2$$

Scădeți 2 din -4 pentru a obține -6.

$$2y-3x=-6$$

Luați în considerare a doua ecuație. Variabila x nu poate fi egală cu -\frac{11}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$5x+y-3x=11$$

Combinați 5x cu -3x pentru a obține 2x.

$$2x+y=11$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=3,x=4$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Variabila x nu poate fi egală cu \frac{4}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(3x-4\right), cel mai mic multiplu comun al 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$2y+2-3x=-4$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$2y-3x=-4-2$$

Scădeți 2 din -4 pentru a obține -6.

$$2y-3x=-6$$

Luați în considerare a doua ecuație. Variabila x nu poate fi egală cu -\frac{11}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$5x+y-3x=11$$

Combinați 5x cu -3x pentru a obține 2x.

$$2x+y=11$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Pentru a egala 2y și y, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Simplificați.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Scădeți pe 2y+4x=22 din 2y-3x=-6 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Adunați 2y cu -2y. Termenii 2y și -2y se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-3x-4x=-6-22$$

Adunați -3x cu -4x.

$$-7x=-6-22$$

Adunați -6 cu -22.

$$-7x=-28$$

Se împart ambele părți la -7.

$$x=4$$

Înlocuiți x cu 4 în y+2x=11. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y+2\times 4=11$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$y+8=11$$

Scădeți 8 din ambele părți ale ecuației.

$$y=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=3,x=4$$