Rezolvați {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 3,2.

$$2x-3y=48$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 15, cel mai mic multiplu comun al 5,3.

$$3x+5y=15$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x-3y=48$$

Adunați 3y la ambele părți ale ecuației.

$$2x=3y+48$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Înlocuiți x cu \frac{3y}{2}+24 în cealaltă ecuație, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Înmulțiți 3 cu \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Adunați \frac{9y}{2} cu 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Scădeți 72 din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{19}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=-6$$

Înlocuiți y cu -6 în x=\frac{3}{2}y+24. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Înmulțiți \frac{3}{2} cu -6.

$$x=-9+24$$

Adunați 24 cu -9.

$$x=15$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=15,y=-6$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 3,2.

$$2x-3y=48$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 15, cel mai mic multiplu comun al 5,3.

$$3x+5y=15$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=15,y=-6$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 3,2.

$$2x-3y=48$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 15, cel mai mic multiplu comun al 5,3.

$$3x+5y=15$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Pentru a egala 2x și 3x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 3 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Simplificați.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Scădeți pe 6x+10y=30 din 6x-9y=144 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Adunați 6x cu -6x. Termenii 6x și -6x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-9y-10y=144-30$$

Adunați -9y cu -10y.

$$-19y=144-30$$

Adunați 144 cu -30.

$$-19y=114$$

Se împart ambele părți la -19.

$$y=-6$$

Înlocuiți y cu -6 în 3x+5y=15. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Înmulțiți 5 cu -6.

$$3x-30=15$$

Adunați 30 la ambele părți ale ecuației.

$$3x=45$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=15$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=15,y=-6$$