Rezolvați {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru k, L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Variabila L nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu L.

$$k=100L$$

Înlocuiți k cu 100L în cealaltă ecuație, 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

Înmulțiți 5 cu 100L.

$$500L+50L=110$$

Adunați 500L cu 50L.

$$550L=110$$

Se împart ambele părți la 550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Înlocuiți L cu \frac{1}{5} în k=100L. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, k se poate rezolva direct.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Înmulțiți 100 cu \frac{1}{5}.

$$k=20$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Variabila L nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu L.

$$k=100L$$

Scădeți 100L din ambele părți.

$$k-100L=0$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele k și L ale matricei.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Variabila L nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu L.

$$k=100L$$

Scădeți 100L din ambele părți.

$$k-100L=0$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Pentru a egala k și 5k, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 5 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Simplificați.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Scădeți pe 5k+50L=110 din 5k-500L=0 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Adunați 5k cu -5k. Termenii 5k și -5k se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-500L-50L=-110$$

Adunați -500L cu -50L.

$$-550L=-110$$

Se împart ambele părți la -550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Înlocuiți L cu \frac{1}{5} în 5k+50L=110. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, k se poate rezolva direct.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Înmulțiți 50 cu \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$5k=100$$

Se împart ambele părți la 5.

$$k=20$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$