Rezolvați {c}{x-3=y}{4x=37+3y}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=28$$

$$y=25$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x-3-y=0$$

Adăugați 3 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$x-y=3$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 3y din ambele părți.

$$4x-3y=37$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x-y=3$$

Adunați y la ambele părți ale ecuației.

$$x=y+3$$

Înlocuiți x cu y+3 în cealaltă ecuație, 4x-3y=37.

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

Înmulțiți 4 cu y+3.

$$4y+12-3y=37$$

Adunați 4y cu -3y.

$$y+12=37$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$y=25$$

Înlocuiți y cu 25 în x=y+3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=25+3$$

Adunați 3 cu 25.

$$x=28$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=28,y=25$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x-3-y=0$$

Adăugați 3 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$x-y=3$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 3y din ambele părți.

$$4x-3y=37$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=28,y=25$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x-3-y=0$$

Adăugați 3 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$x-y=3$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 3y din ambele părți.

$$4x-3y=37$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Pentru a egala x și 4x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 4 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

Simplificați.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

Scădeți pe 4x-3y=37 din 4x-4y=12 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

Adunați 4x cu -4x. Termenii 4x și -4x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-4y+3y=12-37$$

Adunați -4y cu 3y.

$$-y=12-37$$

Adunați 12 cu -37.

$$-y=-25$$

Se împart ambele părți la -1.

$$y=25$$

Înlocuiți y cu 25 în 4x-3y=37. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$4x-3\times 25=37$$

Înmulțiți -3 cu 25.

$$4x-75=37$$

Adunați 75 la ambele părți ale ecuației.

$$4x=112$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=28$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=28,y=25$$