Rezolvați {c}{x+y=27}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 27 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=10$$

$$y=17$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+y=27$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-y+27$$

Înlocuiți x cu -y+27 în cealaltă ecuație, 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+27\right)+0.05y=3.35$$

Înmulțiți 0.25 cu -y+27.

$$-0.25y+6.75+0.05y=3.35$$

Adunați -\frac{y}{4} cu \frac{y}{20}.

$$-0.2y+6.75=3.35$$

Scădeți 6.75 din ambele părți ale ecuației.

$$-0.2y=-3.4$$

Se înmulțesc ambele părți cu -5.

$$y=17$$

Înlocuiți y cu 17 în x=-y+27. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-17+27$$

Adunați 27 cu -17.

$$x=10$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=10,y=17$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 27+5\times 3.35\\1.25\times 27-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=10,y=17$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Pentru a egala x și \frac{x}{4}, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 0.25 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 27,0.25x+0.05y=3.35$$

Simplificați.

$$0.25x+0.25y=6.75,0.25x+0.05y=3.35$$

Scădeți pe 0.25x+0.05y=3.35 din 0.25x+0.25y=6.75 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

Adunați \frac{x}{4} cu -\frac{x}{4}. Termenii \frac{x}{4} și -\frac{x}{4} se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

Adunați \frac{y}{4} cu -\frac{y}{20}.

$$0.2y=6.75-3.35$$

Adunați 6.75 cu -3.35 găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$0.2y=3.4$$

Se înmulțesc ambele părți cu 5.

$$y=17$$

Înlocuiți y cu 17 în 0.25x+0.05y=3.35. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$0.25x+0.05\times 17=3.35$$

Înmulțiți 0.05 cu 17.

$$0.25x+0.85=3.35$$

Scădeți 0.85 din ambele părți ale ecuației.

$$0.25x=2.5$$

Se înmulțesc ambele părți cu 4.

$$x=10$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=10,y=17$$