Rezolvați {c}{x+3y=14}{4x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+3y=14$$

Scădeți 3y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-3y+14$$

Înlocuiți x cu -3y+14 în cealaltă ecuație, 4x-y=4.

$$4\left(-3y+14\right)-y=4$$

Înmulțiți 4 cu -3y+14.

$$-12y+56-y=4$$

Adunați -12y cu -y.

$$-13y+56=4$$

Scădeți 56 din ambele părți ale ecuației.

$$-13y=-52$$

Se împart ambele părți la -13.

$$y=4$$

Înlocuiți y cu 4 în x=-3y+14. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-3\times 4+14$$

Înmulțiți -3 cu 4.

$$x=-12+14$$

Adunați 14 cu -12.

$$x=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=4$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=2,y=4$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Pentru a egala x și 4x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 4 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=4$$

Simplificați.

$$4x+12y=56,4x-y=4$$

Scădeți pe 4x-y=4 din 4x+12y=56 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$4x-4x+12y+y=56-4$$

Adunați 4x cu -4x. Termenii 4x și -4x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$12y+y=56-4$$

Adunați 12y cu y.

$$13y=56-4$$

Adunați 56 cu -4.

$$13y=52$$

Se împart ambele părți la 13.

$$y=4$$

Înlocuiți y cu 4 în 4x-y=4. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$4x-4=4$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$4x=8$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=4$$