Rezolvați {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru a, b

$$a=26$$

$$b=-38$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru a, prin izolarea lui a pe partea din stânga semnului egal.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Scădeți b din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{3}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Înmulțiți \frac{2}{3} cu -b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Înlocuiți a cu \frac{-2b+2}{3} în cealaltă ecuație, a+\frac{1}{2}b=7.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Adunați -\frac{2b}{3} cu \frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Scădeți \frac{2}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Se înmulțesc ambele părți cu -6.

$$b=-38$$

Înlocuiți b cu -38 în a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, a se poate rezolva direct.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Înmulțiți -\frac{2}{3} cu -38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

Adunați \frac{2}{3} cu \frac{76}{3} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$a=26$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$a=26,b=-38$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele a și b ale matricei.

$$a=26,b=-38$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Pentru a egala \frac{3a}{2} și a, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu \frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Simplificați.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

Scădeți pe \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} din \frac{3}{2}a+b=1 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Adunați \frac{3a}{2} cu -\frac{3a}{2}. Termenii \frac{3a}{2} și -\frac{3a}{2} se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Adunați b cu -\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Adunați 1 cu -\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Se înmulțesc ambele părți cu 4.

$$b=-38$$

Înlocuiți b cu -38 în a+\frac{1}{2}b=7. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, a se poate rezolva direct.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -38.

$$a-19=7$$

Adunați 19 la ambele părți ale ecuației.

$$a=26$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$a=26,b=-38$$