Rezolvați left(16-2xright)left(9-xright)=112

$$\left( 16-2x \right) \left( 9-x \right) = 112$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=16$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16-2x cu 9-x și a combina termenii similari.

$$144-34x+2x^{2}=112$$

Scădeți 112 din ambele părți.

$$144-34x+2x^{2}-112=0$$

Scădeți 112 din 144 pentru a obține 32.

$$32-34x+2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-34x+32=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -34 și c cu 32 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 32}}{2\times 2}$$

Ridicați -34 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 32}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 32}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 32.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-256}}{2\times 2}$$

Adunați 1156 cu -256.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{900}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 900.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±30}{2\times 2}$$

Opusul lui -34 este 34.

$$x=\frac{34±30}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{34±30}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{34±30}{4} atunci când ± este plus. Adunați 34 cu 30.

$$x=\frac{64}{4}$$

Împărțiți 64 la 4.

$$x=16$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{34±30}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 30 din 34.

$$x=\frac{4}{4}$$

Împărțiți 4 la 4.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=16 x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16-2x cu 9-x și a combina termenii similari.

$$144-34x+2x^{2}=112$$

Scădeți 144 din ambele părți.

$$-34x+2x^{2}=112-144$$

Scădeți 144 din 112 pentru a obține -32.

$$-34x+2x^{2}=-32$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-34x=-32$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{32}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{32}{2}$$

Împărțiți -34 la 2.

$$x^{2}-17x=-\frac{32}{2}$$

Împărțiți -32 la 2.

$$x^{2}-17x=-16$$

Împărțiți -17, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{17}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{17}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-16+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{17}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-16+\frac{289}{4}$$

Adunați -16 cu \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{225}{4}$$

Factor x^{2}-17x+\frac{289}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{15}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{15}{2}$$

Adunați \frac{17}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=16 x=1$$