Rezolvați {ccc}{0}&{2}&{0}{z}&{3i}&{i}{-i}&{0}&{1+i}=

$$\left| \begin{array} { c c c } { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { z } & { 3 i } & { i } \\ { - i } & { 0 } & { 1 + i } \end{array} \right| =$$

Evaluați

$$\left(-2-2i\right)z+2$$

Pași folosind regula lui Sarrus

Găsiți determinantul matricei utilizând metoda diagonalelor.

$$det(\left(\begin{matrix}0&2&0\\z&3i&i\\-i&0&1+i\end{matrix}\right))$$

Extindeți matricea originală prin repetarea primelor două coloane drept coloanele patru și cinci.

$$\left(\begin{matrix}0&2&0&0&2\\z&3i&i&z&3i\\-i&0&1+i&-i&0\end{matrix}\right)$$

Începând de la intrarea din stânga sus, înmulțiți pe diagonale în jos și adunați produsele rezultate.

$$2i\left(-i\right)=2$$

Începând de la intrarea din stânga jos, înmulțiți pe diagonale în sus și adunați produsele rezultate.

$$\left(1+i\right)z\times 2=\left(2+2i\right)z$$

Scădeți suma produselor diagonalelor ascendente din suma produselor diagonalelor descendente.

$$2-\left(2+2i\right)z$$

Scădeți \left(2+2i\right)z din 2.

$$\left(-2-2i\right)z+2$$

Pași folosind dezvoltarea după minori

Găsiți determinantul matricei utilizând metoda dezvoltării determinantului după minori (cunoscută și ca dezvoltare după cofactori).

$$det(\left(\begin{matrix}0&2&0\\z&3i&i\\-i&0&1+i\end{matrix}\right))$$

Pentru a dezvolta după minori, înmulțiți fiecare element din primul rând cu minorul său, care este determinantul matricei 2\times 2 create prin ștergerea rândului și coloanei care conțin acel element, apoi înmulțiți cu semnul de poziție al elementului.

$$-2det(\left(\begin{matrix}z&i\\-i&1+i\end{matrix}\right))$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), determinantul este ad-bc.

$$-2\left(z\left(1+i\right)-\left(-ii\right)\right)$$

Simplificați.

$$-2\left(\left(1+i\right)z-1\right)$$

Adunați termenii pentru a obține rezultatul final.

$$\left(-2-2i\right)z+2$$